可视化微积分:向量空间中的运动-切T法N副法B和速v加速a曲k扭τ

我们在学习数学过程中,看图帮助理解.这些由空间中的点和点的轨迹组成的图,其实可以用向量的运动来表达.输入的是实数值,输出的却是向量.点的运动变化,向量长度和方向随之变化,天然伴随着切向量法向量副法向量等等空间的变化.理解这一点后,对向量自带空间,对物质运动,也许会有更深刻的理解!

一.向量函数表示

我们把物质或粒子看作一个点,其运动函数可以如图所示来描述.

二.向量值函数极限和连续性

与实值函数的极限和连续性定义原理相同.

极限:

向量函数r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k,域为D,L也是一向量.t∈D,对每一个ε＞0,都对应存在一个σ＞0

当0＜|t-t0|＜σ,则|r(t)-L|＜ε,我们就定t趋近t0,r有极限L,写为:

连续性:

向量函数在点域D内一点t=t0时,如果存在

则向量函数在该点是连续的;向量函数在域D内每一点都是连续的,则该向量函数是连续的.

三.导数和运动

导数就是变化率,是微商,是差商之极限.

1. 向量函数的差分

2 .差商之极限

3. 导数(导函数)=变化率=微商=差商之极限=切线斜率

向量函数在域内每一点是可微的,则向量函数自身是可微的!

微商:dr/dt

差商:(r(t+Δt)-r(t))/(t+Δt-t)=(r(t+Δt)-r(t))/Δt

参见上两图.

4. 向量函数求导规则

4.1 规则如下

4.2 规则证明示例

4.2.1 点积的证明:

4.2.2 叉积的证明:

归纳化简

4.2.3 链式规则证明

u(s)=a(s)i+b(s)j+c(s)k

s=f(t)

4.3 模长为常量的向量函数

||r(t)||=C

五.向量函数积分和抛物运动

1.向量函数积分

1.1 不定积分

示例

1.2 定积分

示例

微积分基本原理

示例:已知加速度,求速度,求向量函数.

2. 向量和理想抛物运动参数方程

笛卡尔坐标系; 二维平面(x,y; 始点:原点(0,0)

六.向量空间中的曲线长

1.始点终端,曲线长定义

2.速度向量与切向量

速度就是变化率;运动就是变化!

速率就是速度矢量的模长,速度矢量方向就是切矢量方向;单位速度矢量就是一个切矢量!

3. 曲线曲率K法向量N和切向量T

单位速度向量=切向量

法向量=切向量差/曲线长差=切向量变化率/切向量变化率模长

速度,切向量,曲率,法向量关系

4. 切向量T法向量N副法向量B和加速度a

法向加速度计算公式之一

副法向量和扭矩

本文公式小结:

本文素材取自托马斯微积分:为何要选取这些内容?向量空间太重要了,可以参考希尔伯特空间之定义.<微积分:曲线求长度和曲率>中有讲清楚希尔伯特空间!

运动就在向量空间中进行.涉及切向量T余切向量或法向量N副法向量B,正交,对偶空间,向量丛等,在向量空间中有一个简单的现象就是:求一次向量变化率(导数),其方向就转90°变为一与原向量正交的向量!几重求导,方向就转几个90°,类似"切切切切....",方向就"转转转转....".这有助于我们理解微分形式和霍琦对偶(转回原方向!).

向量空间中的每一个点都自带一个坐标系携带空间信息,运动就是变化,就是坐标变换!